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大家好!本文和大家分享一道2005年高考全国1卷理科数学真题。这道题综合考查了等比数列的通项公式、等比数列的前n项和、分类讨论以及一元二次不等式等知识,题目的难度并不大,本以为是道送分题,没想到还是有很多同学做错。

先看第一小问:求q的取值范围。

要求q的取值范围,能用的条件只有Sn>0这一个,于是很多同学想都没想就直接代等比数列求和公式,即Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)。那么这样做对不对呢?显然是有问题的,因为所代入的求和公式有一个前提,那就是q≠1。等比数列完整的求和公式包括了两种情况,即q=1和q≠1。所以很多同学就忽略了q=1这种情况,从而导致出现错误。

那么,当q=1时是否满足条件呢?如果q=1,则该数列就是一个常数数列,即Sn=na1。又S1=a1>0,所以当q=1时满足条件。

接下来再看q≠1的情况。此时代入等比数列求和公式,整理后可以得到(1-q^n)/(1-q)>0。然后分类讨论即可求出q的取值范围。

另外,还有一点需要注意的是,等比数列的公比不能等于0,即q≠0。综合上面的情况,最终才能得到q的正确的取值范围。

再看第二小问:比较Sn和Tn的大小。

Sn和Tn是数列的前n项和,所以要比较Sn和Tn的大小,一般情况下需要先求出数列an和bn的通项公式公式。但是,仔细观察题目后可以发现,本题没有办法求出两个数列具体的通项公式,所以我们就要退而求其次找出两个数列通项公式之间的关系。

根据题意可得,bn=(q^2-3q/2)an,所以Tn=(q^2-3q/2)Sn。此时,要比较Sn和Tn的大小关系,则只需要比较q^2-3q/2与1的大小关系即可,也可以转化成比较q^2-3q/2-1与0的大小关系。

令q^2-3q/2-1=0,解得q=-1/2或q=2。接着,在结合第一小问中q的取值范围,分类讨论即可比较出Sn和Tn的大小关系。

这道题的难度不大,主要考查学生对于基础知识的掌握情况。只要基础知识扎实,本题要得满分也不是难事,你觉得呢?

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